Hvorfor teller vi til 10?

Vi er så vant til å telle til 10 at vi nesten ikke klarer å forestille oss hvordan alt ville vært om vi bare hadde fire fingre på hver hånd..

Innledning

For 40 år siden, når jeg var i militæret, fikk jeg en god venn Claus som introduserte meg for tallsystem. Jeg husker at jeg syntes det var en veldig rar og uvant tanke, men du verden så spennende. Etter at jeg forsto tanken, lovte jeg meg selv at jeg aldri skulle glemme hvor vanskelig det kan være å åpne seg for helt nye tanker.

Tall og telling

Opp gjennom historien har mennesket (og en del dyr) lært seg kunsten å telle. Fordi det er viktig og noen ganger helt nødvendig for å overleve. Hvor mange sauer? Har vi nok mat til alle i familien gjennom vinteren? Har vi nok piler for å stoppe angrepet? Hvor mye skal vi betale?

Vi har brukt alle mulige opplegg for å telle. Først og fremst fingre og fingerledd. Men ofte streker som ble risset inn i stein, bein eller tre. Noen ganger steiner,pinner, sjell og frø. Noen ganger snorer med knuter. Så ble det brukt symboler som i romertall (I V X L C) før hele verden landet på et system som ble laget i India rundt 600 år etter Kristus.

I Norge kaller vi det "indo-arabisk tallsystem" fordi det ble utviklet i India og kom til Norge på 1500-tallet fra arabisk gjennom Europa. Det er et såkalt posisjonssystem basert på 10 med tallene 0 til 9.

Grunnen til at det vant over alle andre var fordi det var en fantastisk oppfinnelse som det tok mange hundre år å utvikle. Det bruker 10 som base fordi vi har 10 fingre så det stemmer med annen telling vi har brukt i årtusener. Pluss at det enkelt kan utvides til avanserte matematiske beregninger.

Men vi har også rester av andre tallsystemer. Vi teller til 60 for minutter, sekunder og vinkler (60-tallsystemet). Vi bruker 12-tallsystemet i dusin, timer og måneder. Dansk og fransk har rester av 20-tallsystemet med snes der tress er 60 (fordi tre snes blir 3 x 20).

"Vårt" ti-tall-system

Dette sysemet føles veldig naturlig for oss etter at vi har brukt det siden vi var et par år gamle. Og de fleste av oss har kanskje aldri lurt på hvorfor det er slik eller om det finnes andre "tallsystem". Men la oss likevel tenke litt gjennom hvordan det egentlig fungerer. Det er så selvfølgelig at mange kan faktisk ha problemer med å forklare det. Men la oss likevel prøve.

Vi plasserer altså tallene ved siden av hverandre som bokstaver i et ord. Hver "bokstav" kalles et siffer og hele "ordet" blir et tall. 235 er et tall med tre siffer. Hvert siffer har ulik verdi i forhold til hvor det står. Det er derfor systemet kalles posisjonssystem. Helt til høyre (siste siffer) er verdien for tallet selv. Den posisjonen har verdien 1 og vi kaller det enerne. Der står det 5 så vi har 5 enere eller 5. Mot venstre kommer tier-plassen. Hvis det står 3 der, har vi tre tiere altså 30. Neste siffer mot venstre er hundre-plassen. Når det står 2 der har vi 2 hundrere altså 200. Så summerer vi disse sammen og får 200 + 30 + 5 = 235.

Så i ti-tall-systemet ser det altså slik ut med tallet 235:

• Verdi: Tre måter å skrive verdien til plassen på
  • Tall: F.eks. 100
  • Formel A: 10 x 10 = 100
  • Formel B: 10 opphøyd i 2 som er 10 x 10 = 100
    Litt rart at 10⁰ er 1, men alle tall opphøyd i 0 er 1

Hør når du sier tallet 235: "To hundre og tre-ti fem". Har du tenkt på at "tretti" egentlig betyr tre ti?

Det har blitt litt rot hos oss

Det er en del feil i måten vi sier tallene på, men tror det blir vanskelig å få med resten av befolkningen på å rette opp det nå.

• 0 - 9 er greit
• 11 - 19 har jo alle egne navn, men burde vært entien, entito, entitre osv.
• 20 - 29 starter på tjue men burde vært toti. Totien, totito, totitre osv
• 30 er nesten ok, men burde bli skrevet treti
• 40 er førti, men burde vært fireti eller kanskje firti som er lettere å si
• 50, 60 er femti, seksti. Det er perfekt
• 70 er søtti og burde vært sjuti
• 80 er åtti. Burde vært åtteti, men jeg kan leve med åtti
• 90 er nitti. Kunne vurdert niti

Fire fingre på hver hånd?

Dette er åtte-folket fra åtte-land. De bruker åtte-tall-systemet. Så la oss tenke oss at vi får besøk av en fra åtte-land.

Hun bruker bare tallene fra 0 - 7 og har aldri sett ett åtte-tall. Vi synes det er rart, men kommer plutselig på at vi i ti-land heller ikke har noe siffer for ti - det høyeste er jo ni. Ok, så er det slik da. At tallsystemets verdi ikke har noe eget tegn og vi må bruke to siffer for å skrive ti: 10.

Men hvordan fungerer deres tallsystem? Siste siffer er enerne som hos oss. Alle tallsystem må ha enere til slutt. Men neste verdi er åtterne (alle deres fingre). Og det neste er seksti-firerne (åtte x åtte).

Så i åtte-tall-systemet ser det da slik ut:

Og 128 + 24 + 5 blir 157. Så når de skriver 235 vil de lese det som "to hundre og tre-ti fem". Men antallet er det vi kaller 157.

Så hvordan ville vi da skrive antall timer i et døgn (24), antall uker i et år (52) eller antall dager i et år (365)? For å unngå misforståelser, skriver jeg ned til høyre hvilket tallsystem tallet er oppgitt i. 24₁₀ betyr altså tallet 24 oppgitt i 10-tallsystemet.

Det er helt normalt å bli forvirret nå. Problemet er bare at vi henger så fast i ti-tanken at vi ikke klarer å forstå åtte-tanken. Men for folket i åtte-land er det enda værre å forstå oss. Fordi vi bruker symboler de aldri har sett: 8 og 9. For oss er det tross alt enklere, fordi vi kjenner alle tallene. Men så dukker det opp en fra tolv-land..

Seks fingre på hver hånd

Hvordan ville det vært i tolv-land? Prøv å tenk selv.

• Hva vil være det største tallet de har?
  • Vi i ti-land har 0 - 9
  • Ja, det største tallet deres blir da 11
  • Men 11 er to tegn, så de kan ikke bruke det
  • De valgte tegnet A for 10 og B for 11
  • Så de teller fra 0 - B (0123456789AB)
• Så hva blir verdiene på deres tre første tall fra høyre?
  • 1 (enere)
  • 12 (tolvere)
  • 144 (144-ere fordi 12 x 12 = 144)
• Så hva ville 235 blitt hos dem?
  • 2 x 144 = 288
  • 3 x 12 = 36
  • 5 x 1 = 5
  • Tilsammen 288 + 36 + 5 = 329
  • Så en del mer enn vår 235

Glad at du bor i ti-land?

Ja, det virket jo litt rotete med 8 og 64 i åtte-land og 12 og 144 i tolv-land når vi har så fine tall som går opp som 10 og 100. Men både hun fra åtte-land og han fra tolv-land sier at de har også det. Du skjønner ikke..

Så hvordan skriver de åtte i åtte-land, tror du? For å skrive 8 trenger de 1 åtter og 0 enere og skriver det 10. Men det betyr bare åtte (IIII IIII). Og hvordan skriver de 64? Jo 100. Det er akkurat det samme med de i tolv-land. Alle tallsystem har 1, 10, 100, 1000 og alle tallsystem går akkurat like fint opp. Det er bare at 10 ikke betyr like mange i ulike tallsysem. Men for å forstå det helt må vi kanskje bo litt i åtte-land eller tolv-land.

Her kan du teste litt selv

Jeg har laget en liten dings du kan leke litt med.

• Det gule feltet viser verdien slik vi skriver den i 10-tallsystemet
  • Du kan skrive et tall der eller bruke knappene for å telle opp og ned
• Du ser hvordan det skrives i de store tallene
• Klikk deg opp til 9 og se at neste opp kommer tilbake til 0, men at neste hjul (10-erne) går en opp
• Prøv å bytte tallsystem til 8
  • Da ser du at verdiene over (oppgitt i ti-tallsystem) endrer seg
  • Og i telleren vises det nå 12
  • Bla ned på det gule feltet til du får 8. Da står det 10 i telleren

Men er noen tallsystem bedre enn andre?

I prinsippet har det ingenting å si hvilket grunntall man bruker. Alt fungerer likt. Men med lave grunntall trenger man flere siffer for å beskrive den samme mengden. Det er likevel to grunntall som skiller seg ut hvis en tenker f.eks. opp til 20.

Det kan være nyttig at grunntallet er lett å dele opp. Ti kan jo deles på to og fem. Men det er ett tall mellom 2 og 20 som er i en særstilling og det er tolv. Det kan deles på to, tre, fire og seks. Så hvis du skal sette fram småkaker og ikke vet hvor mange som kommer, velg tolv. Da går det fint om dere blir 2, 3, 4 eller 6. Bare med fem får du problemer med å dele.

Og så er det ett til vi må nevne: To-tall-systemet. Fordi det er som brukes i alle datamaskiner, mobiler, internett osv. Både når noe skal lagres og når det skal behandles. Hvis det var et land for det, ville de ikke ha noen fingre. Bare to hender. Og da skal du tenke to-tall-systemet. Hva er største tall? Det er alltid en under grunntallet, så det blir 1. Hva? Er det mulig å telle med bare 0 og 1? Ja, og i datamaskinene betyr det strøm (1) eller ikke strøm (0). Verdiene blir fra høyre 1, 2, 4, 8. Og 101 blir 1x4 + 0x2 + 1x1 = 4 + 0 + 1 = 5.

Hvordan "oversetter" vi mellom tallsystemer?

For å finne ut hva f.eks. 1000 i 10-tallsystemet blir i 8-tallsystemet, blir gangen slik:

1. Start fra venstre med den første plassen som er mindre enn eller lik tallet. Det er 512.
2. Finn hvor mange ganger plassverdien går opp i tallet.
   Vi deler 1000 på 512, styrker det bak kommaet og får 1 som settes på 512-plassen
   Da har vi tatt 512 av tallet og har 1000 - (1•512) = 1000 - 512 = 488 igjen.
3. Så tar vi 64-plassen: 488 / 64 = 7. Setter 7 på 64-plassen.
   Da står vi igjen med 488 - (7•64) = 488 - 448 = 40
4. Så er det 8-plassen: 40 / 8 = 5. Vi setter 5 på 8-plassen.
   Da står vi igjen med 40 - (5•8) = 40 - 40 = 0
5. Til slutt 1-plassen: Det er ingen rest og vi setter 0 der

Prøv de andre tallene i tabellen over og se at du får samme resultat.

Litt om kombinasjoner

Telling er knyttet til antall kombinasjoner. Hvor mange forskjellige muligheter har vi f.eks. med tre siffer? Du hadde kanskje en kodelås på sykkelen. På min var det tre ringer med tall som gikk fra 0 til 9. Vi lurte på hvor mange kombinasjoner det var og hvor vanskelig det var for noen å finne koden.

For den som ikke er så opptatt av tall, er det kanskje ikke så lett å se antall kombinasjoner. Men vi kan tenke at vi starter på 000 og så teller vi oppover til vi kommer til 999. Da har vi vært gjennom 999 kombinasjoner pluss 000 som vi startet på og det blir til sammen 1000 kombinasjoner. Noen tenker at det er færre eller flere mulige kombinasjoner, men når vi teller oppover får vi uansett med alle kombinasjoner. Hvis du synes dette virker rart, kan du tenke på noen kombinasjoner og så oppdage at de bare er tall på veien fra 000 til 999.

Hvis vi bruker ett sekund på å teste en kombinasjon, trenger vi da 1000 sekunder (17 minutter) på å teste alle og være garantert på å åpne den. Men mest sannsynlig er kombinasjonen lavere enn 999 og da tar det kanskje 8 minutter. Greit å vite når en skal vurdere sikkerheteten.

Og da kommer vi inn på kanskje det viktigste temaet i vår verden. Kryptering og hvordan informasjon beskyttes mot uvedkommende. Men det får bli en annen artikkel.

Svein Waade
Desember 2025

Hyggelig med en hilsen

Kommentar

Fra

Send kommentar

 Beskyttet av Google reCAPTCHA.
 Se Personvern og Vilkår